Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА – это произвольный заранее выбранный набор материальных тел, поведение которых анализируется.

В дальнейшем будет использоваться следующее правило: В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫКЛАДКАХ ХАРКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК В ОТЛИЧИЕ ОТ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ, БУДУТ ИМЕТЬ ИНДЕКС.

МАССА ТЕЛА – это сумма масс всех материальных точек, составляющих данное тело

ВНЕШНИЕ СИЛЫ – это силы взаимодействия материальных точек, включенных в механическую систему и не включенных.

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ – это силы взаимодействия материальных точек, включенных в механическую систему.

ТЕОРЕМА Д1. Сумма внутренних сил механической системы всегда равна нулю.

Доказательство. Согласно аксиоме Д5, для любой пары материальных точек механической системы сумма сил их взаимодействия всегда равна нулю. Но все взаимодействующие точки принадлежат системе и, следовательно, любой из внутренних сил всегда найдется противодействующая внутренняя сила. Следовательно, полная сумма всех внутренних сил обязательно равна нулю. Ч.т.д.

ТЕОРЕМА Д2.Сумма моментов внутренних сил механической системы всегда равна нулю.

Доказательство. Согласно аксиоме Д5, каждой внутренней силе найдется противодействующая внутренняя сила. Поскольку линии действия этих сил совпадают, то их плечи относительно любой точки пространства будут одинаковы и, следовательно, их моменты, относительно выбранной точки пространства по величине одинаковы, но знаки имеют разные, так как силы направлены противоположно. Следовательно, полная сумма моментов всех внутренних сил обязательно равна нулю. Ч.т.д.

ТЕОРЕМА Д3.Произведение массы всей механической системы на ускорение ее центра масс равняется сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Доказательство. Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из конечного числа материальных тел. На основании аксиомы Д2 каждое тело можем разбить на конечное число материальных точек. Пусть всего получено nтаких точек. Для каждой такой точки на основании аксиомы Д4 можно составить уравнение движения

Учитывая, что (КИНЕМАТИКА стр. 3), а также разбив все силы, действующие на i-ю точку, на внешние и внутренние, получим из предыдущего равенства

Если просуммировать уравнения движения всех точек системы, получим

Используя коммутативность операций суммирования и дифференцирования (фактически знаки суммирования и дифференцирования можно менять местами), получим

(40)

Выражение, полученное в скобках, может быть представлено через координату центра масс системы (СТАТИКА стр. 15)

где m – масса всей системы;

- радиус-вектор центра масс системы.

Как следует из теоремы Д1, последнее слагаемое в выражении (40) обращается в ноль, поэтому

или , ч.т.д. (41)

Следствие. Центр масс механической системы движется таким образом, как если бы он был материальной точкой, обладающей всей массой системы и к которой приведены все внешние силы.

 

Движение механической системы в отсутствие внешних сил

 

Теорема Д4. Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении, то центр масс системы в этом направлении будет двигаться с постоянной скоростью.

Доказательство. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось Х совпадала с направлением, в котором внешние силы уравновешены, т.е. сумма проекций внешних сил на ось Х равна нулю

Тогда, согласно теореме Д3

Так как , следовательно

Если проинтегрировать последнее выражение, то получим

, ч.т.д.

ТЕОРЕМА Д5. Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении и в начальный момент система покоилась, то центр масс системы остается неподвижен все время движения.

Доказательство. Повторив рассуждения, приведенные в доказательстве предыдущей теоремы, получим, что скорость центра масс должна остаться такой же, какой она была в начальный момент, т.е. нулевой

Проинтегрировав это выражение, получим

, ч.т.д.

ТЕОРЕМА Д6. Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении и в начальный момент система покоилась, то сумма произведений масс каждого из тел системы на абсолютное смещение его собственного центра масс в том же направлении равна нулю.

Доказательство. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось Х совпадала с направлением, в котором внешние силы уравновешены или отсутствуют (F1, F2, …, Fk на рис. 3), т.е. сумма проекций внешних сил на ось Х равна нулю

Рис. 3.

Пусть система включает n тел и координаты центров масс каждого тела равны . Тогда в начальный момент движения должно быть справедливо выражение (СТАТИКА стр. 15)

.

По прошествии некоторого промежутка времени Dt, тела системы переместились в новое положение (рис. 4)

где абсолютное смещение j-го тела за рассматриваемое время.

Рис. 4.

 

Для нового положения центра масс можем снова написать выражение

На основании теоремы Д5 можем сделать вывод, что центр масс системы по оси Х не смещается, т.е. или

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим

, ч.т.д. (42)

 

Уравнения поступательного движения тела

 

Поскольку при поступательном движении ускорения всех точек тела одинаковы (КИНЕМАТИКА стр. 8), то уравнение движение будет как в формуле (41), только вместо ускорения центра масс можно использовать ускорение любой точки тела. Если спроектировать это уравнение на оси координат, получим

(43)

 

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.