МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТОЧКИ относительно выбранной оси – это произведение массы точки на квадрат ее расстояния до выбранной оси.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА относительно выбранной оси – это сумма моментов инерции всех точек тела относительно той же оси

(48)

СОБСТВЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА – это момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс данного тела.

В справочной литературе всегда приводятся ТОЛЬКО СОБСТВЕННЫЕ моменты инерции.

Моменты инерции некоторых тел

Для наиболее распространенных форм материальных тел собственные моменты инерции определены в более удобном виде, чем формула (48). Приведем некоторые из них. На рисунках показано плоское изображение тел, поэтому ось Z всегда направлена перпендикулярно рисунку.

1. Термин:КОЛЬЦО, ОБРУЧ, ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР.

Примечание. Масса тела распределена по окружности.

Изображение:

* - кроме цилиндра.

2. Термин: ДИСК, КРУГЛАЯ ПЛАСТИНА, СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР.

Изображение:

Примечание: Масса тела распределена по всей поверхности.

* - кроме цилиндра.

3. Термин: СТЕРЖЕНЬ, ТЯГА.

Примечание:Любая деталь, у которой один размер больше двух других.

Изображение:

4. Термин: ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА ИЛИ ЛИСТ.

Примечание: Масса тела распределена по всей поверхности.

Изображение:

РАДИУС ИНЕРЦИИ – это радиус такого кольца, которое имеет такую же массу и такой же собственный момент инерции, что и данное тело.

Если в задаче задан радиус инерции тела, то вычислять момент инерции следует обязательно по формуле

.

ТЕОРЕМА Д9 (Штейнера-Гюйгенса). Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме собственного момента инерции относительно оси, параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния от центра масс тела до оси.

Доказательство. Рассмотрим тело с центром масс в точке М(рис. 5). Требуется определить его момент инерции относительно оси х-х. Проведем ось y-y, параллельную оси х-х и отстоящую от нее на расстоянии L. Пусть расстояние от произвольной i-й точки тела до оси х-х - , a от той же точки до оси y-y - ( может быть и положительным, и отрицательным в зависимости от положения i–й точки относительно оси y-y). Тогда и, следовательно,

Вынеся из-под знака суммирования постоянные величины и учитывая, что

получим

ч.т.д. (49)

Рис. 5.

Основываясь на полученном результате, можем сделать вывод, что, поскольку величина всегда положительна, то СОБСТВЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ЯВЛЯЕТСЯ МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНЫМ МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ ДАННОГО ТЕЛА ПРИ СОХРАНЕНИИ НАПРАВЛЕНИЯ ОСИ ВРАЩЕНИЯ.

Кроме того, поскольку мы рассматриваем только абсолютно жесткие тела, то ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ВРАЩЕНИЯ ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ.

Поиск по сайту: