Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

сеткИ Пенроуза И ИХ АНАЛОГИ



Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Разработан алгоритм построения сеток Пенроуза и их аналогов с помощью отображения четырехмерных регулярных решеток на двумерную плоскость.

 

Кристаллические решетки в трехмерном евклидовом пространстве могут иметь элементы симметрии 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Однако, в 1984 году были открыты вещества, названные квазикристаллами, структура которых обладает одновременно дальним упорядочением и пентагональной симметрией [1]. Поэтому, чтобы применить единый подход к описанию структуры как кристаллов, так и квазикристаллов, необходимо обобщить понятие кристаллической решетки.

В самом общем случае решеткой назовем аддитивную подгруппу, порожденную некоторым базисом векторного пространства над множеством чисел , замкнутым относительно операций сложения и умножения. Потребуем, чтобы решетка совмещалась сама с собой при повороте вокруг оси на угол . Если – матрица такого поворота, то она порождает подгруппу 5-го порядка, т.е. – единичная матрица. Тогда характеристические числа матрицы являются комплексными корнями 5-ой степени из числа 1, а характеристический многочлен матрицы должен иметь коэффициенты из множества . Многочлены наименьшей степени, удовлетворяющие таким требованиям, следующие: или , где – «золотое отношение». Степень этих многочленов равна 2, а коэффициенты имеют вид , где и – целые числа. Поэтому, уже в двухмерном евклидовом пространстве можно построить структуры с дальним упорядочением и пентагональной симметрией. Такие структуры известны под названием сеток Пенроуза [2].

Фрагменты сеток Пенроуза можно получить отображением координационных сфер четырехмерной решетки корневых векторов на двумерную плоскость. Алгоритм описан в предыдущей работе [3]. Здесь мы обобщим этот алгоритм, взяв вместо другое иррациональное число , являющееся корнем некоторого квадратного многочлена с целочисленными коэффициентами и . Тогда – множество чисел вида , где и – произвольные целые.

Матрицу Грама базисных векторов двумерной обобщенной решетки запишем в виде , где , . Тогда расстояние от узла до начала координат определяется квадратичной формой . Если , где – целые, то , ; здесь обозначены матрицы , в которой , , , .

Матрица – это матрица Грама четырехмерной целочисленной решетки. Координаты узлов этой решетки, находящиеся на координационной сфере радиуса , можно определить из уравнения перебором в пределах , , где – минор соответствующего диагонального элемента матрицы . Определим -отображение четырехмерной решетки в двумерную обобщенную решетку: каждой точке поставим в соответствие точку , где , . Будем последовательно строить на плоскости -образы координационных сфер четырехмерной решетки, которые затем соединим отрезками и получим аналоги сеток Пенроуза. На рисунке изображен фрагмент сетки для . Эта сетка одновременно обладает дальней упорядоченностью и октагональной симметрией. Поскольку алгоритм построения сеток Пенроуза и их аналогов один и тот же, только использует различные иррациональные числа , то мы можем сделать предположение о существовании квазикристаллов не только с пентагональной, но и октагональной симметрией.

 

Рис. Аналог сетки Пенроуза, обладающий октагональной симметрией.

 

The algorithm of build-up of Penroses cells and their analogs with the help of projections of four-dimension regular lattices is designed.

 

Литература

1. Shechtman, D. Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry / D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, J.W. Cahn // Phys. Rev. Lett. – 1984. – Vol. 53. – № 12. – P. 1951-1953.

2. Penrose, R. Role of aesthetics in pure and applied research / R. Penrose // Bull. Inst. Math. Appl. – 1974. – V. 10. – P. 266-271.

3. Гордейчик, С.В. Алгоритм построения сеток Пенроуза // Физика конденсированного состояния: материалы XIX Респ. науч. конф. аспир., магистр. и студ., Гродно, 19-20 апреля 2011 г.: / ГрГУ; ред. кол.: Е.А. Ровба [и др.]. – Гродно, 2011. – С. 26-28.

Сведения об авторе: Гордейчик Сергей Валентинович, студент 5 курса, физико-технический факультет, Гродненский государственный университет имени Янки Купалы, г. Гродно, Беларусь; S_G89@mail.ru.

Сведения о научном руководителе: Сабуть Андрей Вацлавович, доцент кафедры теоретической физики, канд. физ.-мат. наук, доцент, Гродненский гос. университет имени Янки Купалы, г. Гродно, Беларусь; sabutz@grsu.by.

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.