Площі поверхонь та об’єми многогранників

МНОГОГРАННИКИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Мета: сформувати поняття многогранника: призми, піраміди та їх властивостей.

Двогранний кут

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами із спільною прямою, яка їх обмежує. Площини і – грані двогранного кута. С – ребро двогранного кута.

Лінійним кутом двогранного кута називається кут між променями, по яких площина, перпендикулярна ребру двогранного кута, перетинає його грані. Площина лінійного кута перпендикулярна кожній грані двогранного кута.

Многогранники

Многогранником називається геометричне тіло, поверхня якого складається зі скінченного числа плоских многокутником.

Призма

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, що лежать в різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, і усіх відрізків, які з’єднують відповідні точки цих многокутників.

( рисунок довільної призми)

Елементи призми

1. Основи призми …

2. Бічні грані …

3. Бічні ребра …

4. Вершини призми …

5. Висота призми … (відстань між площинами її основ).

6. Діагональ призми … (відрізок, який сполучає дві вершини, які не належать одній грані).

7. Діагональний переріз … (переріз призми площиною, яка проходить через бічні ребра призми, що не належать одній грані).

Властивості

1. Основи призми рівні і паралельні.

2. Бічні ребра рівні і паралельні.

3. Бічні грані паралелограми.

Види призм

Пряма призма – призма, у якої бічні ребра перпендикулярні основам.

Властивості прямої призми:

- висота дорівнює бічному ребру;

- бічні грані – прямокутники.

Похила призма – призма, у якої бічні ребра не перпендикулярні площинам основ.

Правильна призма – пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник. У такої призми всі бічні грані – рівні прямокутники.

Трикутна, чотирикутна, …, n-кутна призма – в основі призми лежить трикутник, чотирикутник, …, n-кутник.

Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, в основі якої лежить паралелограм.

Властивості

1. У паралелепіпеда всі грані – паралелограми.

2. У паралелепіпеда протилежні грані паралельні і рівні.

3. Всі чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину поділяються навпіл. О – центр симетрії паралелепіпеда.

Види паралелепіпедів

1. Прямий.

2. Похилий.

3. Прямокутний.

Властивості прямокутного паралелепіпеда

1. У прямокутного паралелепіпеда всі грані - прямокутники.

2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. .

Куб

Кубом називається прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Властивості

1. У куба всі грані – квадрати.

2. ( , де - ребро куба, - діагональ куба.

Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника (основи піраміди), точки, що не лежить в площині основи (вершини піраміди), і всіх відрізків, які з’єднують вершину піраміди з точками основи.

( рисунок довільної піраміди)

Елементи піраміди

1. Висота піраміди – перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

2. Бічні грані …

3. Бічні ребра …

Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо її основа є правильним n-кутником, а основа висоти піраміди співпадає з центром цього n-кутника.

Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить висоту піраміди. Апофемою правильною піраміди називається висота бічної грані.

Зрізана піраміда

( рисунок довільної зрізаної піраміди)

Зрізаною пірамідою називається многогранник, який залишається, якщо від піраміди відділити площиною, яка паралельна основі, піраміду з тією ж вершиною.

Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає подібну піраміду.

Щоб правильно зобразити зрізану піраміду, треба починати із зображення вихідної повної піраміди.

Правильна зрізана піраміда – це зрізана піраміда, яку дістали з правильної піраміди.

Площі поверхонь та об’єми многогранників

Призма

Піраміда

Зрізана піраміда