Рівняння, що містять змінну під знаком функції антьє . Аналітичні способи розв’язання

2.1. Рівняння, для розв’язання яких використовують властивості цілої частини числа.

Розглянемо на конкретних прикладах використання властивостей цілої та дробової частин числа для розв’язання таких рівнянь.

№ 1 Розв’язати рівняння [x] + [2x] = 3.

Розв’язання. Якщо [x] < 1, то [2x] < 2, [x] + [2x] <3, тому коренів рівняння не має.

Якщо [x] = 1, то із умови [x] + [2x] = 3 випливає: [2x] = 2, Якщо Розв’язок цієї системи . Якщо х ≥ 2, то коренів рівняння не має. Відповідь : х є [1; ).

№ 2 Розв’язати рівняння: [ ] + [ ] + [x] = {x} – 1.

Розв’язання. Оскільки {x} = [ ] + [ ] + [x] + 1, то {x} – ціле число, тому {x} = 0.

Дане рівняння рівносильне такому + + x + 1 = 0, (x + 1) + (x + 1) = 0, або

(x + 1) ( + 1) = 0, x + 1 = 0, x = -1. Відповідь : х = -1.

№ 3 Розв’язати рівняння: .

Розв’язання.Оскільки за властивістю цілої частини числа , а , то . Звідси випливає, що , тому, по-перше, , а по-друге, всі доданки, крім перших трьох, у сумі, яка стоїть всередині подвійної нерівності, дорівнюють нулеві, тому . Оскільки х – ціле число, треба перевірити значення . Перевірка показала, що корені рівняння – це числа .

№ 4 Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Дане рівняння рівносильне нерівності . Розв’язавши нерівність, отримуємо .

Відповідь. .

№ 5 Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Корінь даного рівняння – ціле число, тому , а рівняння на множині цілих чисел рівносильне . Корені цього рівняння .

Відповідь : .

№ 6 Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Оскільки то із умови випливає, що , тобто .

Очевидно, що всі задовольняють дане рівняння . Також є очевидним, що серед чисел коренів даного рівняння немає.

Розглянемо усі . Кожне з цих чисел можна подати так : , де .

Рівняння набуває вигляду , яке рівносильне . Використавши властивість 1, запишемо останнє рівняння так: , або . Звідси за означенням дробової частини маємо, що . Розв’язавши цю нерівність, отримаємо, що . Тоді , або .

Таким чином, розв’язки даного рівняння :

Відповідь :

№ 7 Розв’язати рівняння .

Розв’язання.Оскільки ліва частина рівняння – ціле число, то число - ціле, звідки робимо висновок, що - ціле число і виконується . Отже, дане рівняння на множині цілих чисел рівносильне такому рівнянню . Корені цього рівняння : .

Відповідь : .

№ 8 Розв’язати рівняння .

Розв’язання.Дане рівняння рівносильне , , останнє не має коренів.

Відповідь : .

Дане рівняння рівносильне , , останнє не має коренів.

№ 9 Розв’язати рівняння , де

Розв’язання.

1) якщо , то ; 2) якщо , то рівняння розв’язків не має.

Відповідь: , якщо ; Ø, якщо .

№ 10 Розв’язати рівняння

Розв’язання:За означенням цілої частини : , звідки

Відповідь: .

№ 11 Розв’язати рівняння .

Розв’язання:За означенням цілої частини : .

1) Якщо , то , тобто розв’язків не має; 2) Якщо , то ,

; 3) Якщо , то .

Відповідь: Ø, якщо ; , якщо ; , якщо .

№ 12 Розв’язати рівняння

Розв’язання:За означення цілої частини запишемо і розв’яжемо систему:

Відповідь: .

№ 13 Розв’язати рівняння .

Розв’язання:За означення цілої частини запишемо і розв’яжемо систему:

Відповідь: .

№ 14 Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

1. Нехай , очевидно, що .

2. Оскільки , то і ми маємо нерівність , звідси випливає, що , причому - ціле число, яке ділиться на 10.

3. Перевіркою переконуємося, що підходять наступні числа: , , , .

Відповідь : .

№15Розв’язати рівняння

Розв’язання.Якщо - розв’язок даного рівняння, то . Оскільки , то запишемо ліву частину рівняння так: . Таким чином, дане рівняння рівносильне такому: , яке рівносильне сукупності

Числа і не цілі, тому не є коренями даного рівняння.

Відповідь : .

№16 Розв’язати рівняння

Розв’язання:Оскільки , то рівняння рівносильне ,

, , .

Рівняння розв’язків не має. Відповідь: .

№ 17 Розв’язати рівняння .

Розв’язання.Позначимо , де - ціле число, , тоді , , , після перетворення отримаємо рівняння . Оскільки ліва частина невід’ємна, а - ціле число, то . Цій нерівності задовольняють такі цілі значення t: .

При отримуємо , що виконується при всіх , звідси .

При отримаємо рівняння , звідси маємо систему Розв’язавши останню систему, отримаємо , звідки .

При отримаємо рівняння , звідси маємо систему Розв’язавши останню систему, отримаємо , звідки .

№ 18 Розв’язати рівняння .

Розв’язання.Оскільки ( властивість 8), то дане рівняння рівносильне такому

, або . Оскільки , то буде цілим тоді і тільки тоді, коли , . З іншого боку, якщо має такий вигляд, то , і , тому .

Відповідь . , де

Поиск по сайту: