Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл есть число. Его значение зависит только от вида функции f(х) и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Для суммы двух функций имеем: .

4. Аддитивность. Если функция f(x) интегрируема на отрезках [а, с] и [с, b], а < с < b, то она интегрируема и на отрезке [a, b], причем выполняется равенство: .

5. Если f(x) — нечетная функция, т. е. f(-х) = -f(x), то:

если f(х) — чётная функция, т. е. f(-х) = f(x), то:

6. По определению: .

7. Теорема о среднем. Если f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо равенство:

Эта формула имеет ясный геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции численно равна площади прямоугольника с тем же основанием, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна ординате f(c) в некоторой точке с, лежащей между а и b.