Определенный интеграл

Понятие интеграла возникло и постепенно укрепилось в своем значении, когда целый ряд задач геометрии и механики приводил к необходимости производить над функциями одну и ту же аналитическую операцию, содержание которой составлял предельный переход определенного типа. Природа этой операции такова:

Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x₁, x₂, x₃, ¼, x_n-1, удовлетворяющие условию: a< x₁,< x₂<¼< x_n-1,<b.

Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более мелких промежутков: [a;x₁], [x₁;x₂], ¼ [x_n-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c₁Î[a;x₁], c₂Î[x₁;x₂], ¼; c_nÎ[x_n-1;b].

Введем обозначения:Dx₁ = x₁ – a; Dx₂ = x₂ – x₁; ¼; Dx_n = b – x_n-1.

Составим сумму:

.

Определение 15.4(1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек c_i.

Каждое слагаемое интеграль­ной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.

Введем обозначение: l = max(Dx_i), i = 1, 2, ¼, n..

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю.

Поиск по сайту: