Определение 15.8(1).

Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

,

определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим прира­щение функции в точке x при приращении аргумента Dx:

DI(x) = I(x + Dx) – I(x) .

Очевидно, что величина последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади соответствующей криволинейной трапеции. При малых величинах Dx эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, которая определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение

.

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx.

Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

.

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точкеx.

Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде .

Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы принимает вид

I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a).

Поиск по сайту: