В точке М0 экстремума нет

Задача № 264. Требуется: 1) Построить в плоскости ХОУ область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядке интегрирования.

(*)

РЕШЕНИЕ:

Строим область интегрирования D:

Область является правильной в направлении оси Oy (пересекается прямыми, проходящими через область D и параллельными оси Oy, только в двух точках) и ограничена линиями:

Тогда площадь области D может быть вычислена по формуле:

Так как область D– правильная, то двойной интеграл может вычислен двумя способами:

Чтобы вычислить интеграл, проходя область D в направлении оси OY, воспользуемся формулой

Чтобы вычислить интеграл, проходя область D в направлении оси OX, воспользуемся формулой

Тогда площадь области D может быть вычислена по формуле:

ОТВЕТ: S = 6 (ед.²)

(ПРОВЕРКА: в обоих случаях получили одинаковый результат – т.к. площадь одна и та же)

Задача № 284. Криволинейный интеграл

(*)

РЕШЕНИЕ:

Построим линию, по которой надо вести интегрирование:

1) L − отрезок прямой ОС

Записываем уравнение прямой ОС как уравнение прямой, проходящей через точки О и С:

Воспользуемся формулой

Находим:

2) L − дуга параболы

Воспользуемся формулой

Находим:

3) L − ломаная ОАС

3) L − ломаная ОВС

ПРОВЕРКА: 3) и 4) – одинаковый результат: J=90, т.к. криволинейный интеграл здесь не зависит здесь от пути интегрирования:

Задача № 304. Найти общее решение дифференциального уравнение первого порядка

(*)

РЕШЕНИЕ:

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Потенцируем:

Варьируем С: С=С(х): (**)

Тогда

Подставим и в исходное уравнение и найдем С(х):

Интегрируем по частям:

Положим тогда

Применяя формулу интегрирования по частям, находим:

Таким образом, общее решение исходного уравнения (*) имеет вид (**):

ПРОВЕРКА:

(*)

(*)

ОТВЕТ:

Задача № 324. Найти частное решение дифференциального уравнение второго порядка с начальными условиями

(*)

РЕШЕНИЕ:

Так как в уравнение (*) не входит функция y, то понизим порядок уравнения, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящих в уравнение, т.е. сделаем замену: Тогда и уравнение (*) принимает вид:

(**)

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Варьируем С:

(***)

Подставим и в (**) и определим

Для определения С₁ и С₂ используем начальные условия:

ПРОВЕРКА:

(*):

ВЕРНО!

ОТВЕТ:

Задача № 344. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям

(*)

РЕШЕНИЕ:

Решаем однородное уравнение: (**)

Ему соответствует характеристическое уравнение:

Решение однородного линейного уравнения (**) имеет вид:

Тогда решение исходного уравнения (*) ищем методом вариации постоянных в виде:

Функции определяются из системы:

Находим:

Разрешаем уравнение (2):

(3)

Теперь из уравнения (1) находим:

Тогда решение исходного уравнения (*) имеет вид:

Для определения постоянных С₁ и С₂используем начальные условия:

Таким образом, частное решение исходного уравнения (*) имеет вид

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Задача № 364. Исследовать ряд на сходимость (а, б) и найти интервал сходимости (в)

РЕШЕНИЕ:

Исследуем ряд по необходимому признаку:

Посмотрим поведение функции

Или используем разложение в ряд:

Общий член U_n стремится к нулю при значит, по необходимому признакуисходный ряд сходится.