Исследование переходного процесса в цепи постоянного тока

1.1 Определение классическим методом переходное значение

1.1.1 После срабатывания коммутатора

Представим падение напряжения на первом резисторе через вынужденную и свободную составляющие:

(t) = (t) + (t)

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения для момента времени t=∞:

Рис. 3. Схема замещения цепи в момент времени t=∞

Найдем падения напряжения (t) = по методу двух узлов:

= = = 0,075 В

(t) = 0,075 В

Найдем свободную составляющую. Для этого построим следующую схему замещения (рис. 4):

Z(p) = +

Y = + =

Z(p) = 0,1 + = + 161,42p + 228,55 = 0

Рис. 4. Схема замещения для определения показателей затухания

= –1,43; = –159,99

Так как корни действительные число, то процесс А-периодический.

(t) = +

Составим следующую систему уравнений (выражений (1) и(2)), в которую входят постоянные интегрирования :

|t=0 = |t=0 + |t=0

= 0 – 1,43 –159,99

Для нахождения строим схему замещения для времени t = 0+:

Рис. 5. Схема замещения цепи для времени t = 0+

i = ( ); E = ( )

Для нахождения ( )и ( ), а соответственно i и E, построим схему замещения для времени t = :

Рис. 6. Схема замещения цепи для момента времени t =

(0) = ( ) = 0,12, B

=

= L =>

|t=0 =

(0+) = – = –0,12 B

= –7,2

После вышеприведенных преобразований выражения (1) и (2) примут вид:

0,12 = 0,075 +

–7,2 = – 1,43 –159,99

= 0,045 –

–7,2 = –1,43(0,045 – ) – 159,99

–7,2 = –0,06435 + 1,43 – 159,99

= 0,0450028

= –0,0000028

(t) = 0,075 – 0,0000028 + 0,0450028

1.1.2 После срабатывания коммутатора

Найдем время срабатывания коммутатора :

= = = = 1,048951049 с

После срабатывания коммутатора уравнение падения напряжения на резисторе в общем виде будет выглядеть:

(t– ) = (t– ) + (t– )

Найдем вынужденную составляющую (t– ):

Построим схему замещения, когда в цепи сработал коммутатор для момента времени t=∞:

Рис. 7. Схема замещения при срабатывании коммутатора для t=∞

(t– ) =

= = = 0,068 B

(t) = 0,068, B

Вычислим (t– ). Для этого составим следующую схему замещения (рис. 8):

Для рис.8 определим входное сопротивление относительно разрыва цепи:

Z(p) = + pL + = 0,3 + 0,005p + 0,4 = 0,005p + 0,7 = 0

= –140

(t– ) =

(t– ) = 0,068 +

Рис. 8. Схема замещения цепи для нахождения коэффициентов затухания после срабатывания

(t– ) |t= = 0,068 + |t= = 0,068 +

Для нахождения коэффициента интегрирования необходимо найти величину (t– ) |t= . Так как (t– ) обладает зависимым начальным значением, то будем искать его значение из схемы замещения для t = :

Рис. 9. Схема замещения цепи для момента времени t =

Так как в цепи после замыкания коммутатора сложился устоявшийся переходный процесс, но в цепи все еще продолжает действовать первый переходный процесс, то для нахождения тока необходимо проделать аналогичные расчеты, как и для , то есть найти вынужденную составляющую ( ) и свободную составляющую ( ).

(t) = (t) + (t)

Для нахождения вынужденной составляющей ( (t)) воспользуемся рис.3.

(t) = = 0,25 A

Так как коэффициенты затухания нам уже известны, то нам остается только найти постоянные интегрирования и .

(t) = +

(t) |t=0 = (t) |t=0 + (t) |t=0

|t=0 = |t=0 + |t=0

(0) = 0,25 + +

= – 1,43 – 159,99

Так как (0) обладает независимым значением, то будем искать его значение из схемы замещения t = (рис.6).

(0) = = 0,4 А

L = ( ) = –0,12 B

= = = –24

0,4 = 0,25 + +

–24 = –1,43 – 159,99

= 0,15 –

–24 = –1,43(0,15 – ) – 159,99

= 0,1500094

= –0,0000094

(t) = 0,25 – 0,0000094 + 0,1500094 = 0,25 – 0,0000021 = 0,2499979 А

(t = ) = = 0,07499937 B

0,07499937 = 0,068 +

= 0,00699937

(t –1,048951049) = 0,068 + 0,00699937

1.2 Определение операторным методом переходное значение

Определим напряжение на конденсаторе и ток, протекающий по катушке индуктивности в момент срабатывания коммутатора . С этой целью обратимся к схеме замещения t = (рис.6).

( ) = 0 B

( ) = = 0,4 A

Составим операторную схему замещения:

Рис.9. Операторная схема замещения

L

Для нахождения (p) воспользуемся законами Кирхгоффа:

=

– – = 0

+ - = 0

( + ) + – (pL + ) = –L (0)

– ( + ) = 0

Выразим все токи через :

=

= –

= – = – =

=

Подставим выраженные токи в пятое уравнение системы (3):

+ – ( – )(pL + ) = –L (0)

Разрешим его относительно :

( + + pL + ) = –L (0) + L +

( ) = 0,12

= ( ) =

=

Найдем :

= – = – = =

= = =

=

M(p) = 0

p(7,0005 + 1130,07p + 1600) = 0

= 0; + 161,3233p + 228,4082 = 0

= –1,4285; = –159,999

Так как корни уравнения M(p) = 0 не равны друг другу, то для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся формулой разложения:

=

= 21,0015 + 2260,14p + 1600

= |p=0 + |p= –1,4285 + |p= –159,999

|p=0 = = 0,075

|p= –1,4285 = = –0,0000027

|p= –159,999 = = 0,045

= 0,075 – 0,0000027 + 0,045

Выполним проверку, при которой = и = :

= = 0,119975

= = 0,120342

≈

= = 0,075

= = 0,075

≈ => так как эти оба условия выполняются, то задача считается решенной верно.

1.3 Оценка погрешности по пунктам 1.1.1 и 1.2

Таблица 4. Сводная таблица параметров

Метод
Классический	0,075	0,0000028	0,0450028	1,43	159,99
Операторный	0,075	0,0000027	0,045	1,4285	159,999

Определим погрешность вынужденной составляющей , полученной из пунктов 1.1.1 и 1.2:

δ = ·100% = 0%

Из этих же пунктов определим погрешность постоянных интегрирования и коэффициентов затухания:

δ = ·100% = 3,5%

δ = ·100% = 0%

δ = ·100% = 0.1%

δ = ·100% = 0%

Погрешности не превышают 5%, следовательно, расчеты выполнены правильно.

1.4 Построение графика зависимости

Определим шаг приращения на первом интервале:

Δ = = = 0,017 с

Определим шаг приращения на втором интервале:

= = = 0,69

Δ = 0,1· = 0,1·0,69 = 0,069 с

Определим время, через которое закончился переходный процесс:

5 = 5·0,69 = 3,45 с

Рис.10. График переходного процесса зависимости

Поиск по сайту: