Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Методы получения дискретных аналогов



Дискретизацию данного дифференциального уравнения можно осуществить множеством способов. Среди множества конструктивных подходов к построению разностных аналогов дифференциальных операторов в МКР можно выделить следующие:

· метод формальной замены производных конечно-разностными выражениями;

· метод неопределённых коэффициентов;

· метод интегральных тождеств (интегро-интерполяционный метод или метод контрольного объёма).

 

Метод формальной замены производной конечно-разностными отношениями. Этот метод основан на разложении в ряд Тейлора достаточно гладких функций. Рассмотрим узловые точки, показанные на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Три последовательные узловые точки (шаблон), используемые при разложении в ряд Тейлора

Запишем, например, следующее разложение по формуле Тейлора

Используя нижний индекс j для обозначения сеточной функции f в точке x = xj, это соотношение можно переписать в виде

и, следовательно,

(3.7)

Это ведёт к так называемой аппроксимации разностью вперёд (правой разностью) для первой производной, когда

(3.8)

Из сопоставления данного равенства с соотношением (3.7) нетрудно определить погрешность такой аппроксимации

(3.9)

где 0£q1£1, и так как e пропорциональна Dх, то говорят, что эта погрешность равна О(Dх). Из выражения (3.9) нельзя получить точную величину погрешности, так как фактическое значение q1 неизвестно. Однако можно утверждать, что

Аналогичным образом, пользуясь разложением по формуле Тейлора, получим

откуда

где 0£q2£1, и приходим к аппроксимации разностью назад (левой разностью)

(3.11)

Погрешность e этой аппроксимации снова имеет порядок О(Dх), и

Необходимо подчеркнуть следующее. Поскольку аппроксимации (3.6) и (3.10) основаны на разложении функции f в ряд Тейлора с точностью до линейных слагаемых, то, тем самым, они будут строго справедливы для линейных функций.

Вычитая из представления (3.6) ряд (3.10), находим

что позволяет ввести аппроксимацию центральной разностью

(3.12)

с погрешностью аппроксимации

Так как здесь погрешность имеет порядок O[(Dx)2], то это представление должно быть лучше, чем представление правой и левой разностями. Это утверждение становится понятным, если отметить, что аппроксимация центральной разностью предполагает квадратичное изменение функции f между узлами xj-1 и xj+1. В общем случае здесь может возникнуть проблема с обеспечениемдостаточно гладкой стыковки отрезков параболы в процессе числен –

ного решения.

Складывая разложения в ряд Тейлора (3.6) и (3.10), обнаруживаем, что слагаемые с первой и третьей производными взаимно уничтожаются. В результате имеем

и, таким образом, вторую производную можно аппроксимировать выражением

(3.13)

Погрешность е этой аппроксимации имеет порядок О[(Dx)2], причём

Эти аппроксимации первой и второй производных достаточны для наших последующих целей. Аппроксимации (возрастающей сложности) производных более высоких порядков, если они потребуются, можно получить аналогичным образом.

Таким образом, подводя итог изложенному выше, можно отметить, что метод формальной замены производных конечно-разностными отношениями прост и шаблонен. Полученный с его помощью разностный аналог дифференциального уравнения аппроксимирует это уравнение в узле сетки, т.е., строго говоря, не вполне справедлив в межузловом пространстве. Недостатком данного метода является отсутствие наглядности и физического содержания.

Метод неопределённых коэффициентов. Суть метода заключается в том, что для аппроксимации производной записывают линейную комбинацию значений сеточной функции в узлах наперёд заданного шаблона. Неопределённые постоянные коэффициенты этой комбинации определяют из условия получения необходимого порядка аппроксимации в данном узле.

Метод неопределённых коэффициентов отличается от предыдущего метода лишь порядком действий. И здесь используется разложение в ряд Тейлора, однако, в отличие от метода формальной замены производных конечными разностями, порядок аппроксимации является исходной (заданной) величиной, а не следствием преобразований. Этот метод особенно удобен для конструирования разностных аналогов граничных условий требуемой точности.

Метод интегральных тождеств (метод контрольного объёма). Различные технологические процессы характеризуются некоторыми интегральными законами сохранения (массы, количества движения, энергии и т.д.). Естественно потребовать, чтобы при переходе к конечно-разностным аналогам дифференциальных уравнений основные свойства описываемого ими физического процесса сохранялись, т.е. чтобы законы сохранения выполнялись не только для всей области исследования, но и для любой малой её части. Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, называют консервативными (или дивергентными). Законы сохранения для всей сеточной области Wh (интегральные законы сохранения) для консервативных схем должны быть алгебраическим следствием разностных уравнений.

Для получения консервативных разностных схем исходят из уравнений баланса, записанных для элементарных объёмов (ячеек) сеточной области (напомним, что при использовании рядов Тейлора разностный аналог удовлетворяет исходному уравнению лишь в узле сетки). Входящие в эти уравнения баланса интегралы и производные следует заменить приближёнными разностными выражениями. Поскольку разностные отношения могут быть взяты не единственным образом, то можно получить различные разностные схемы.

Рассмотрим безразмерное уравнение модельной задачи. В данном случае задача одномерна, т.е. искомая функция f зависит лишь от одного аргумента, поэтому в качестве контрольного "объёма" здесь выступает отрезок оси Х – [Xj-1/2, Xj+1/2] (см. рис.3.4). Проинтегрируем уравнение (3.4,а) по контрольному "объёму", показанному на рис. 3.4:

 

 

 

Будем считать Ре и Nu постоянными величинами. Тогда из (3.44) после частичного интегрирования получим:

(3.18)

Обращаясь теперь к рис. 3.4, получаем следующие аппроксимации:

Единственный интеграл, который входит в соотношение (3.18) и представляет собой заштрихованную область на рис. 3.4, может быть вычислен с помощью квадратурной формулы трапеций (см. далее)

(3.20)

Если сетка равномерная, то Xj – Xj-1 = Xj+1 – Xj = DX и выражение (3.20) принимает более простой вид

(3.20,а)

Если температура внутри контрольного "объёма" распределена равномерно, так что fj-1 = fj = fj+1, то интеграл в целом оказывается равным эквивалентной величине ½ fj (Xj+1 – Xj-1) ® DX×fj, которая получается при использовании разложения функций в ряды Тейлора. В случаях же, когда имеют место большие градиенты температуры, формула трапеций обеспечивает более точную аппроксимацию, поскольку при этом учитывается неоднородность распределения температуры.

Подстановка соотношений (3.19) и (3.20) в формулу (3.18) даёт

(3.21)

или при равномерной сетке

(3.21,а)

Интегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически доступных решений таких уравнений физически правильное обобщённое решение.